Balancing Power in Decentralized Governance: Quadratic Voting and Information Aggregation

【文献出版元数据与作者信息】

论文标题（Title）：Balancing Power in Decentralized Governance: Quadratic Voting and Information Aggregation

论文作者（Authors，原文保留未翻译）：Alon Benhaim, Brett Hemenway Falk, Gerry Tsoukalas

作者所属机构（Affiliations）：Department of Mathematics, University of Pennsylvania (Alon Benhaim); Computer and Information Science Department, University of Pennsylvania (Brett Hemenway Falk); Questrom School of Business, Boston University (Gerry Tsoukalas).

出版期刊与卷期（Journal）：Management Science, Vol. 72, No. 6, June 2026, pp. 4597–4609.

特刊归属与处理编辑：Special Issue on Digital Finance (数字金融特刊), Accepted by Will Cong (康威教授主编).

文献唯一标识（DOI）：https://doi.org/10.1287/mnsc.2024.08469

在线附录（Supplemental Material / Online Appendix）：https://doi.org/10.1287/mnsc.2024.08469

【论文 JEL 经济学标准分类号系统】

D71 - Social Choice; Clubs; Committees; Associations (社会选择理论、社群治理、委员会与协会决策机制)

D72 - Political Processes: Rent-Seeking, Elections, Legislatures, and Voting Behavior (政治过程、寻租、选举与投票行为博弈)

D82 - Asymmetric and Private Information; Mechanism Design (非对称信息与私有信息、机制设计理论)

D83 - Search; Learning; Information and Knowledge; Communication; Belief (搜寻、学习、信息汇总与信念更新)

G30 / G34 - Corporate Governance and Decentralized Organizations (公司治理、去中心化自治组织 DAO 与利益相关者机制)

L86 - Information and Internet Services; Computer Software; Blockchain Systems (信息与互联网服务、计算机软件、区块链与 Web3 系统)

C72 - Noncooperative Games (非合作博弈理论、纯策略纳什均衡分析)

【引理 1 (Lemma 1)】社会福利最大化与集体成功概率最大化的完全等价性

核心结论陈述：全系统功利主义总期望社会福利定义为所有选民期望效用的代数和 $W(\overrightarrow{v}) \triangleq \sum_{i = 1}^{n}U_{i}(\overrightarrow{v})$。在预算平衡财富再分配机制下，最大化总社会福利等价于最大化集体的成功概率，即：

$$argmax_{\overrightarrow{v}}W(\overrightarrow{v}) = argmax_{\overrightarrow{v}}p(\overrightarrow{v})$$

【数理逻辑与推导证明】

展开总福利定义式：$W(\overrightarrow{v}) = \sum_{i = 1}^{n}\left\lbrack u_{i} \cdot p(\overrightarrow{v}) - f(v_{i}) + r_{i}(\overrightarrow{v}) \right\rbrack$。

由加法分配律与预算平衡条件 $\sum_{i = 1}^{n}r_{i}(\overrightarrow{v}) = \sum_{i = 1}^{n}f(v_{i})$，成本项与再分配转移支付项在求和中完全相互抵消：

$W(\overrightarrow{v}) = p(\overrightarrow{v})\sum_{i = 1}^{n}u_{i} - \sum_{i = 1}^{n}f(v_{i}) + \sum_{i = 1}^{n}r_{i}(\overrightarrow{v}) = p(\overrightarrow{v})\sum_{i = 1}^{n}u_{i}$。

由于外有效用参数 $\sum_{i = 1}^{n}u_{i} > 0$ 与选民策略 $\overrightarrow{v}$ 无关，故 $argmax_{\overrightarrow{v}}W(\overrightarrow{v}) \equiv argmax_{\overrightarrow{v}}p(\overrightarrow{v})$。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【理论价值】：该引理证明了在合理的去中心化转移支付设计下，机制设计者的目标函数可以纯化为评估信息汇总的精度 $p(\overrightarrow{v})$，从而使得跨机制的比较能够完全聚焦于信息识别与战略博弈能力本身，排除了资金摩擦的干扰。

【定义 6 与引理 2 (Definition 6 & Lemma 2)】机制严格偏序关系（Strict Partial Ordering）公理化定义与性质

核心结论陈述：对于给定的参数组合 $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}) \in \mathcal{P}$，我们称机制 $m_{2}$ 严格优于机制 $m_{1}$（记为 $m_{1} <_{\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}}m_{2}$ 或 $m_{2}$ is better than $m_{1}$），当且仅当满足以下两条充分条件之一：

$$m_{1} <_{\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}}m_{2} \Longleftrightarrow max_{\mathcal{E} \in \mathcal{N}_{m_{1}} \smallsetminus \mathcal{N}_{m_{2}}}W(\mathcal{E}) < min_{\mathcal{E} \in \mathcal{N}_{m_{2}}}W(\mathcal{E})或max_{\mathcal{E} \in \mathcal{N}_{m_{1}}}W(\mathcal{E}) < min_{\mathcal{E} \in \mathcal{N}_{m_{2}} \smallsetminus \mathcal{N}_{m_{1}}}W(\mathcal{E})$$

【数理逻辑与推导证明】

1. 条件一（存在额外更劣均衡 Additional Worse Equilibria）：机制 $m_{1}$ 产生了 $m_{2}$ 所没有的额外均衡，且该额外均衡的福利严格低于 $m_{2}$ 的任意均衡：

$\mathcal{N}_{m_{1}} subseteq \mathcal{N}_{m_{2}}且max_{\mathcal{E} \in \mathcal{N}_{m_{1}} \smallsetminus \mathcal{N}_{m_{2}}}W(\mathcal{E}) < min_{\mathcal{E} \in \mathcal{N}_{m_{2}}}W(\mathcal{E})$

2. 条件二（缺失更优均衡 Missing Better Equilibria）：机制 $m_{2}$ 产生了 $m_{1}$ 所无法达到的更优均衡，且该新均衡的福利严格高于 $m_{1}$ 的任意均衡：

$\mathcal{N}_{m_{2}} subseteq \mathcal{N}_{m_{1}}且max_{\mathcal{E} \in \mathcal{N}_{m_{1}}}W(\mathcal{E}) < min_{\mathcal{E} \in \mathcal{N}_{m_{2}} \smallsetminus \mathcal{N}_{m_{1}}}W(\mathcal{E})$

【引理 2 证明（严格偏序公理验证）】：

(1) 非自反性（Irreflexivity）：显见 $m less_{\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}}m$。

(2) 反对称性（Antisymmetry）：若 $m_{1} < m_{2}$，则根据极值不等式，$m_{1} \smallsetminus m_{2}$ 中的福利严格低于 $m_{2}$ 中的全体福利，故不可能同时存在 $m_{2} \smallsetminus m_{1}$ 中的福利低于 $m_{1}$ 全体福利，矛盾，故不可能 $m_{2} < m_{1}$。

(3) 传递性（Transitivity）：若 $m_{1} < m_{2}$ 且 $m_{2} < m_{3}$，通过对条件一与条件二的 4 种组合进行逐一极值放缩，均可直接推导出 $m_{1} < m_{3}$。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【治理内涵】：此定义极其严谨而稳健。只有当机制 $m_{1}$ 的劣质均衡无论如何协调都无法比拟 $m_{2}$，或者 $m_{2}$ 能创造出全面超越 $m_{1}$ 的卓越均衡时，才判定优劣。基于此，参数空间被划分为：等价区 $\mathcal{P}_{m_{1} \equiv m_{2}}$、优劣区 $\mathcal{P}_{m_{1} < m_{2}}$ 及不可比区。

【命题 1 (Proposition 1)】双选民博弈的策略空间界与纯策略纳什均衡完全分类

核心结论陈述：在双选民博弈中：(i) 选民在均衡中的出票数满足 $v_{i} \in \{ 0,1,2\}$，投出 $v_{i} > 2$ 票是严格劣势策略。(ii) 整个博弈仅存在三类纯策略纳什均衡：全弃权均衡 $(0,0)$、知情专家独裁均衡 $(1,0)$ 以及次优选民劣质独裁均衡 $(0,1)$。

$$均衡\ (0,0):max(u_{1}p_{1},u_{2}p_{2}) \leq 1$$

$$均衡\ (1,0):u_{1}p_{1} \geq 1$$

$$均衡\ (0,1):u_{2}p_{2} \geq 1且u_{1}(p_{1} - p_{2}) \leq 2^{m}$$

【数理逻辑与推导证明】

【第一步：排除 $v_{i} > 2$ 与平局出资】

设均衡投票排序为 $v_{(1)} \geq v_{(2)}$。若 $v_{(2)} > 0$：若 $v_{(1)} = v_{(2)}$，由于对抗性平局规则，成功率为 $p_{1}p_{2}$（极低），次要选民若将出票降为 $v_{(2)} - 1$，不仅减少了购票成本，而且直接打破平局让主要选民单方面决定，成功率反而从 $p_{1}p_{2}$ 跃升至 $p_{(1)}$！因此 $v_{1} = v_{2} > 0$ 绝非均衡。

若 $v_{(1)} > v_{(2)} > 0$，次要选民出票对结果毫无影响，直接单调减少出资至 $v_{(2)} = 0$ 可在成功率维持 $p_{(1)}$ 不变的前提下节省全部成本。因此在任意非零均衡中，必有次要选民出票 $v_{(2)} = 0$。

当 $v_{(2)} = 0$ 时，主要选民只需投出 $v_{(1)} = 1$ 即可完全掌控结果（成功率为 $p_{(1)}$），投出 $v_{(1)} > 1$ 只是徒增成本，故 $v_{(1)} \leq 1$。因此仅需检验 $(0,0),(1,0),(0,1)$。

【第二步：构建 $3 \times 3$ 收益矩阵并检验偏离激励】

在 $(0,0)$ 下双方收益为 $(0,0)$。选民 1 单方偏离至 $(1,0)$ 收益为 $u_{1}p_{1} - 1$；选民 2 单方偏离至 $(0,1)$ 收益为 $u_{2}p_{2} - 1$。故 $(0,0)$ 为均衡当且仅当 $max(u_{1}p_{1},u_{2}p_{2}) \leq 1$。

在 $(1,0)$ 下，选民 1 收益为 $u_{1}p_{1} - 1$，偏离至 0 收益为 0，故需 $u_{1}p_{1} \geq 1$。选民 2 偏离至 1 导致平局（收益 $u_{2}p_{1}p_{2} - 1 < u_{2}p_{1}$），偏离至 2 收益为 $u_{2}p_{2} - 2^{m} < u_{2}p_{1}$（因 $p_{2} \leq p_{1}$ 且成本为正），故选民 2 绝不偏离。因此 $(1,0)$ 为均衡充要条件仅为 $u_{1}p_{1} \geq 1$。

在 $(0,1)$ 下，选民 2 收益为 $u_{2}p_{2} - 1$，需满足 $u_{2}p_{2} \geq 1$。选民 1 偏离至 0 收益为 $u_{1}p_{2}$；偏离至 2 则能反超选民 2 夺回控制权，获得收益 $u_{1}p_{1} - 2^{m}$。因此选民 1 不偏离的充要条件为 $u_{1}p_{1} - 2^{m} \leq u_{1}p_{2}$，即 $u_{1}(p_{1} - p_{2}) \leq 2^{m}$。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【机制启示】：在双选民博弈中，由于对抗性平局规则，任何积极的分工投票（如 (1,1)）都会导致平局灾难，因此只有“独裁型”均衡能够存续。这清晰地表明：当且仅当知情者 1 具有足够大的信息优势去覆盖反超成本 $2^{m}$ 时，才能有效摧毁由无知者 2 形成的劣质独裁 $(0,1)$。

【推论 1 与推论 2 (Corollaries 1 & 2)】线性投票均衡向二次方投票的完全包含性与 QV 劣质参数域

核心结论陈述：(1) 在双选民博弈中，LV 下的任意纳什均衡均必定是 QV 下的纳什均衡，即 $\mathcal{N}_{LV}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}) \subseteq \mathcal{N}_{QV}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{p})$。(2) 存在非空的参数子集 $\mathcal{P}_{QV < LV}$，在此区域内 QV 严格劣于 LV：

$$\mathcal{P}_{QV < LV} = \left\{ (\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}) \in \mathcal{P}\backslash middle|u_{2}p_{2} \geq 1,u_{1}p_{1} \geq 1,\frac{2}{u_{1}} < p_{1} - p_{2} \leq \frac{4}{u_{1}} \right\}$$

【数理逻辑与推导证明】

【推论 1 证明】：

观察命题 1 中的三个均衡条件：$(0,0)$ 与 $(1,0)$ 的存在条件与机制参数 $m$ 完全无关，因此在 LV 与 QV 下完全一致。

对于劣质独裁均衡 $(0,1)$，其存在条件为 $u_{1}(p_{1} - p_{2}) \leq 2^{m}$。由于对于任意 $p_{1} \geq p_{2}$，有 $2^{1} = 2 < 2^{2} = 4$。因此，若在 LV ($m = 1$) 下满足 $u_{1}(p_{1} - p_{2}) \leq 2$，则必然在 QV ($m = 2$) 下满足 $u_{1}(p_{1} - p_{2}) \leq 4$。因此 $\mathcal{N}_{LV} \subseteq \mathcal{N}_{QV}$ 恒成立。

【推论 2 证明】：

根据严格偏序定义 6，若要实现 $QV <_{\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}}LV$，必须满足 QV 存在额外的更劣均衡，即 $(0,1) \in \mathcal{N}_{QV} \smallsetminus \mathcal{N}_{LV}$，且 LV 存在唯一最优均衡 $(1,0)$。

这要求：(i) $u_{2}p_{2} \geq 1$；(ii) $u_{1}p_{1} - 4 \leq u_{1}p_{2} < u_{1}p_{1} - 2$（使得 $(0,1)$ 在 QV 下成立而在 LV 下被破坏）；(iii) $u_{1}p_{1} \geq 1$（保证 $(1,0)$ 成立）。

在此参数区间内，LV 的唯一均衡为 $(1,0)$，期望福利为 $(u_{1} + u_{2})p_{1}$；而 QV 拥有多重均衡 $\{(1,0),(0,1)\}$，其劣质均衡 $(0,1)$ 的期望福利为 $(u_{1} + u_{2})p_{2} < (u_{1} + u_{2})p_{1}$。由定义 6，QV 严格劣于 LV。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【核心经济学直觉】：QV 之所以劣于 LV，正是因为 QV 对购票赋予了二次方成本。当专家 1 试图纠正外行 2 的错误投票时，专家在 LV 下只需支付 2 的成本投 2 票；但在 QV 下，专家投 2 票必须支付 $2^{2} = 4$ 的巨额成本！因此，成本凸性大幅削弱了专家反超纠偏的经济激励，使得外行独裁在 QV 下更容易存活。

【数值算例 1 (Example 1)：QV 严格劣于 LV 的具体参数验证】

设定选民利益与精度参数如下：$u_{1} = 10,u_{2} = 10$；$p_{1} = 0.8,p_{2} = 0.6$。

1. 检验知情专家 1 的信息优势：$\Delta = p_{1} - p_{2} = 0.8 - 0.6 = 0.20$ (20 个百分点)。

2. 线性投票机制 (LV, $m = 1$) 分析：

- 专家反超所需边际收益门槛：$u_{1}(p_{1} - p_{2}) = 10 \times 0.20 = 2.0$。

- LV 下投 2 票成本为 2.0，因此专家 1 恰好有动力反超外行（$u_{1}p_{1} - 2 = 10 \times 0.8 - 2 = 6.0 > u_{1}p_{2} = 6.0$，严格打破 $(0,1)$ 的弱激励）。

- 事实上当 $\Delta > 2/u_{1}$ 时，$(0,1)$ 被彻底消灭。LV 下的唯一纯策略纳什均衡为 $(1,0)$，全系统总期望福利 $W(1,0) = (10 + 10) \times 0.8 = 16.0$。

3. 二次方投票机制 (QV, $m = 2$) 分析：

- QV 下专家投 2 票的成本暴增为 $2^{2} = 4.0$！

- 专家反超净收益：$u_{1}p_{1} - 4 = 10 \times 0.8 - 4 = 4.0 < u_{1}p_{2} = 10 \times 0.6 = 6.0$。专家选择理性放弃纠偏！

- 因此在 QV 下，外行独裁 $(0,1)$ 成为坚固的纳什均衡，其期望福利仅为 $W(0,1) = (10 + 10) \times 0.6 = 12.0$。

4. 结论：在 QV 下系统面临产生 12.0 低劣福利的巨大风险，而在 LV 下系统稳健锁定 16.0 高福利。QV 严格劣于 LV ($QV <_{\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}}LV$)。

【引理 4 与引理 5 (Lemmas 4 & 5)】三选民多数决精度的单调排序与专家独裁占优临界条件

核心结论陈述：(1) 三人多数决的成功概率必然严格高于次优与最差选民的个体精度，即 $P_{3} > p_{2} \geq p_{3}$。(2) 专家 1 单独独裁优于多数决（$p_{1} > P_{3}$）的充分必要条件由 Nitzan and Paroush (1982) 对数优势边界给出：

$$P_{3} > p_{2} \geq p_{3}$$

$$p_{1} > P_{3} \Longleftrightarrow ln\left( \frac{p_{1}}{1 - p_{1}} \right) > \sum_{i = 2}^{3}ln\left( \frac{p_{i}}{1 - p_{i}} \right)$$

【数理逻辑与推导证明】

【引理 4 证明】：

展开差值式：$P_{3} - p_{2} = p_{1}p_{2} + p_{2}p_{3} + p_{1}p_{3} - 2p_{1}p_{2}p_{3} - p_{2}$。

由引理 25，当 $p_{1} \geq p_{2} \geq p_{3} > 0.5$ 时：$P_{3} = p_{2}(p_{1} + 2p_{3} - 2p_{1}p_{3}) + (p_{1} - p_{2})p_{3} > p_{2} \cdot 1 + 0 = p_{2} \geq p_{3}$。因此多数决必然胜过较差的两位选民。

【引理 5 证明】：

比较 $p_{1}$ 与 $P_{3}$：$p_{1} - P_{3} = (1 - p_{2})(p_{1} - p_{3}) - p_{2}p_{3}(1 - p_{1})$。

将其转化为贝叶斯对数似然比形式，根据 Nitzan and Paroush (1982) 定理 1，当且仅当最高精度的对数胜率超过其余人对数胜率之和时，$p_{1} > P_{3}$ 成立。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【推论 5 与推论 6】：由于 $P_{3} > p_{2} \geq p_{3}$，次优或最差选民独裁在福利上永远劣于民主多数决。当选民同质（$p_{1} = p_{2} = p_{3}$）时，由孔多塞定理必有 $P_{3} > p_{1}$，此时 LV 与 QV 的理论上限至多与 1p1v 持平，绝不可能超越 1p1v。

【命题 2 (Proposition 2)】三选民博弈均衡策略空间的区域划分与可能成功概率全景分类

核心结论陈述：在任意成本机制 $m \geq 1$ 下，三选民博弈中所有可能的非零纯策略纳什均衡严格分布于民主区（Region I）与独裁区（Region III）；平局区（Region II）不存在任何非零均衡。博弈所能产生的均衡成功概率仅有 5 种可能取值：$\{ 0,p_{3},p_{2},p_{1},P_{3}\}$。

【数理逻辑与推导证明】

【引理 20 证明（Region II 无非零均衡）】：

设出票最多者为 $q_{1}$，其余为 $q_{2},q_{3}$。若处于 Region II，满足 $v_{q_{1}} = v_{q_{2}} + v_{q_{3}} > 0$。根据对抗性平局规则，此时成功率为 $p_{q_{1}}(1 - p_{q_{1}}) - p_{1}p_{2}p_{3} < P_{3}$。

选民 $q_{1}$ 若单方减少 1 票，出票变为 $v_{q_{1}} - 1 < v_{q_{2}} + v_{q_{3}}$，博弈立即进入 Region I（民主多数决），成功率跃升至 $P_{3}$，同时选民 $q_{1}$ 节省了购票成本！因此 Region II 存在严格有利偏离，不可能存在非零均衡。

【引理 21–23 证明（非零均衡的精细结构）】：

1. 在独裁区（Region III, $v_{q_{1}} > v_{q_{2}} + v_{q_{3}}$），被独裁者 $q_{2},q_{3}$ 的出票无法改变结果，其最佳反应必然是彻底弃权 $v_{q_{2}} = v_{q_{3}} = 0$。进而独裁者只需投 1 票即可掌控，故独裁均衡只能是 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$，对应成功率 $p_{1},p_{2},p_{3}$。

2. 在民主区（Region I, $v_{q_{1}} < v_{q_{2}} + v_{q_{3}}$），均衡形式必为 $(1,1,1)$ 或非对称结构 $(v,v,1),(v,1,v),(1,v,v)$（$v > 1$），成功率恒为 $P_{3}$。全弃权时成功率为 0。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【理论简化威力】：该命题表明，尽管三主体离散策略空间在理论上是无限维的，但所有纳什均衡的宏观产出被严格压缩到了 5 个离散能级。这使得跨机制的社会福利比较完全转化为对这 5 个能级出现条件的比较。

【命题 3 与推论 3 (Proposition 3 & Corollary 3)】三选民独裁均衡成立的充要条件与 QV 的劣质独裁扩张效应

核心结论陈述：三选民博弈中独裁均衡成立的充要条件如下表所示。特别地，若某种独裁在 LV ($m = 1$) 下是纳什均衡，则其在 QV ($m = 2$) 下必然也是纳什均衡；反之不成立。

$$均衡\ (1,0,0):u_{1}p_{1} > 1 \Longrightarrow p(\overrightarrow{v}) = p_{1}$$

$$均衡\ (0,1,0):u_{1}(p_{1} - p_{2}) < 2^{m}且u_{2}p_{2} > 1 \Longrightarrow p(\overrightarrow{v}) = p_{2}$$

$$均衡\ (0,0,1):max_{i \in \{ 1,2\}}u_{i}(p_{i} - p_{3}) < 2^{m}且u_{3}p_{3} > 1 \Longrightarrow p(\overrightarrow{v}) = p_{3}$$

【数理逻辑与推导证明】

1. 专家独裁 $(1,0,0)$：选民 1 投 1 票收益 $u_{1}p_{1} - 1 > 0 \Longrightarrow u_{1}p_{1} > 1$。其余选民投 1 票导致平局或投 2 票反超均无利可图。故充要条件为 $u_{1}p_{1} > 1$（与 $m$ 无关）。

2. 次优独裁 $(0,1,0)$：选民 2 需满足 $u_{2}p_{2} > 1$。选民 1 试图反超需投 2 票，不反超的条件为 $u_{1}p_{1} - 2^{m} \leq u_{1}p_{2} \Longrightarrow u_{1}(p_{1} - p_{2}) \leq 2^{m}$。选民 3 精度更低绝不反超。故充要条件为 $u_{1}(p_{1} - p_{2}) < 2^{m}$ 且 $u_{2}p_{2} > 1$。

3. 劣质独裁 $(0,0,1)$：选民 3 需满足 $u_{3}p_{3} > 1$。选民 1 和选民 2 均不反超需满足 $max_{i \in \{ 1,2\}}u_{i}(p_{i} - p_{3}) < 2^{m}$。

由于 $2^{1} = 2 < 2^{2} = 4$，QV 下的反超门槛翻倍，因此使得 $(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$ 在 QV 下的参数存在区间远大于 LV。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【推论 3 治理涵义】：二次方投票的凸性成本机制原意是限制“大户独裁”，但在信息不对称环境中，它却产生了极其危险的副作用：一旦一个低精度的平庸选民抢先建立独裁，QV 极高的高阶票成本会阻碍真正懂行的专家去夺回控制权，使得次优与劣质独裁在 QV 下大幅扩张。

【命题 4 与推论 4 (Proposition 4 & Corollary 4)】三选民民主多数决均衡的偏离边界与双向机制表现

核心结论陈述：三选民博弈中，对称民主均衡 $(1,1,1)$ 成立的充要条件为：对所有选民 $i$，单方弃权至 0 或反超至 3 均无利可图：

$$max\left( u_{i}p_{i} - 3^{m},u_{i}p_{i + 1}p_{i + 2} \right) \leq u_{i}P_{3} - 1,\forall i \in \{ 1,2,3\}$$

【数理逻辑与推导证明】

在 $(1,1,1)$ 下选民 $i$ 收益为 $u_{i}P_{3} - 1$。若选民 $i$ 弃权至 0，成功率降为其余两人同时正确的概率 $p_{i + 1}p_{i + 2}$，收益为 $u_{i}p_{i + 1}p_{i + 2}$；若选民 $i$ 试图单方独裁需投 3 票，收益为 $u_{i}p_{i} - 3^{m}$。

因此不偏离条件为：$max(u_{i}p_{i} - 3^{m},u_{i}p_{i + 1}p_{i + 2}) \leq u_{i}P_{3} - 1$ 对所有 $i \in \{ 1,2,3\}$ 成立。

【推论 4 证明】：由于 $3^{1} = 3 < 3^{2} = 9$，若该不等式在 LV ($m = 1$) 下对 $u_{i}p_{i} - 3$ 成立，则在 QV ($m = 2$) 下对 $u_{i}p_{i} - 9$ 必然更宽松地成立。因此若 $(1,1,1)$ 在 LV 下是均衡，在 QV 下也必为均衡。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【非对称民主均衡】：除 $(1,1,1)$ 外，系统还可能存在诸如 $(1,v,v)$ 等非对称多数决均衡。在这些均衡中，由于购票成本差异，QV 与 LV 会展现出截然相反的相对优劣表现，如下述两个经典算例所示。

【数值算例 2 (Example 2)：QV 劣于 LV（劣质独裁未能清除）】

设定参数：$p_{1} = 0.979,p_{2} = 0.965,p_{3} = 0.953$；$u_{1} = 250,u_{2} = 65,u_{3} = 98$。多数决基准成功率 $P_{3} = 0.9937$。

1. 机制均衡集合求解与福利计算：

- $(1,1,1)$ 在两种机制下均为纳什均衡，社会总福利 $W(1,1,1) = (250 + 65 + 98) \times 0.9937 = 411.64$。

- $(1,2,2)$ 仅在 LV 下为额外民主均衡，社会总福利同样为 411.64。

- $(1,0,0)$ 专家独裁在两种机制下均成立，社会总福利 $W(1,0,0) = 413 \times 0.979 = 404.33$。

- 关键差异：次优独裁 $(0,1,0)$ 在 QV 下成为合法纳什均衡（因 $u_{1}(p_{1} - p_{2}) = 250 \times 0.014 = 3.5 < 2^{2} = 4$），而在 LV 下因 $3.5 > 2$ 被彻底消灭！

- $(0,1,0)$ 下社会总福利仅为 $W(0,1,0) = 413 \times 0.965 = 398.55$。

2. 结论：QV 产生了特有的低劣均衡 $(0,1,0)$（福利仅 398.55），而 LV 的最低均衡福利为 404.33。根据定义 6，QV 严格劣于 LV！

【数值算例 3 (Example 3)：QV 优于 LV（有效抑制无知者过度出资）】

设定参数：$p_{1} = 0.90,p_{2} = 0.80,p_{3} = 0.60$；$u_{1} = 400,u_{2} = 350,u_{3} = 50$。多数决成功率 $P_{3} = 0.876$。

1. 机制均衡集合求解与福利计算：

- 在此参数下，专家独裁 $(1,0,0)$ 的福利为 $(400 + 350 + 50) \times 0.90 = 720.0$，高于多数决福利 $800 \times 0.876 = 700.8$（根据引理 5，由于 $p_{1}$ 显著高于其余人，专家独裁最优）。

- 在 LV 下，由于低票成本低廉，选民 2 和 3 有动力过度出资维持 $(1,2,2)$ 与 $(1,3,3)$ 民主均衡，导致系统陷入福利为 700.8 的次优状态。

- 在 QV 下，投 2 票或 3 票需支付 4 或 9 的高昂成本，低知情选民 2 和 3 被迫放弃过度投票，$(1,2,2)$ 与 $(1,3,3)$ 均被打破，QV 唯一锁定了最优专家独裁 $(1,0,0)$（福利 720.0）！

2. 结论：LV 存在额外的低福利均衡（700.8），而 QV 唯一实现高福利（720.0）。根据定义 6，QV 严格优于 LV ($LV <_{\overrightarrow{u},\overrightarrow{p}}QV$)！

【引理 29 (Lemma 29)】利益均质情形下线性投票（LV）绝不劣于二次方投票（QV）的单调性定理

核心结论陈述：在三选民博弈中，若所有选民的利益诉求完全相同（$u_{1} = u_{2} = u_{3}$），则线性投票（LV）绝不可能严格劣于二次方投票（QV），即在参数空间上 $\mathcal{P}_{LV < QV} = \backslash emptyset$。

【数理逻辑与推导证明】

【引理 26】：若 LV 劣于 QV，该额外劣质均衡必为民主均衡（因为独裁均衡在 LV 下成立则必在 QV 下成立）。

【引理 28】：在均质效用下，若 $(v,v,1)$ 或 $(v,1,v)$ 成立，则对称多数决 $(1,1,1)$ 必成立。因此唯一的潜在劣质均衡为 $(1,v,v)$（$v > 1$）。

【数学归纳法证明】：若 $(1,v,v)$ 在 LV 下为均衡，需满足 $u(p_{2} - P_{3}) \leq - v$。若 $(1,1,1)$ 在 QV 下不是均衡，则必有 $u(p_{1} - P_{3}) > 3^{2} - 1 = 8$。

由引理 27 建立的关键概率链式不等式：$P_{3} - p_{3} \geq P_{3} - p_{2} \geq |p_{1} - P_{3}|$，可得：

$u(P_{3} - p_{2}) \geq u(p_{1} - P_{3}) \geq 8 \Longrightarrow u(p_{2} - P_{3}) \leq - 8 \leq - 2^{2}$。

这意味着对于 $v = 2$，$(1,2,2)$ 在 QV 下必定能够成立。通过逐步归纳可证，对任意使得 LV 成立的参数，QV 必然能够构造出等价或更优的均衡，因此 LV 绝不会出现缺失更优均衡或存在额外更劣均衡的情况。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【深刻洞见】：利益同质性消除了选民之间因为“代币持有量巨大但无知”而产生的扭曲。在此基准下，QV 无法发挥其原本宣称的平衡优势，LV 展现出极强的机制鲁棒性。

【命题 5 (Proposition 5)】任意选民规模下独裁均衡的普适存在性与 QV 的平方成本保护壁垒

核心结论陈述：对于任意有限或无限的选民数量 $n$：(1) 始终存在非空的参数子集，使得单人独裁策略 $(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ 在 LV 与 QV 下同时构成纳什均衡。(2) 若单人独裁在 LV 下是均衡，则在 QV 下必然也是均衡。(3) 始终存在参数子集，使得单人独裁在 QV 下是均衡，但在 LV 下被打破。

【数理逻辑与推导证明】

考虑选民 $i$ 投 1 票、其余所有人投 0 票的策略。此状态构成纳什均衡的条件为：

(i) 独裁者 $i$ 无动力弃权：$u_{i}p_{i} - 1 \geq 0 \Longrightarrow u_{i}p_{i} \geq 1$。

(ii) 任意其他选民 $j eq i$ 无动力反超：选民 $j$ 若要改变结果，必须至少投出 2 票（打破平局并单方胜出），其净收益为 $u_{j}p_{j} - 2^{m}$。不反超的条件为：$u_{j}p_{j} - 2^{m} \leq u_{j}p_{i} \Longrightarrow u_{j}(p_{j} - p_{i}) \leq 2^{m}$。

只要设定 $u_{j}$ 适度偏小，或者 $p_{j}$ 不显著高于 $p_{i}$，该条件对所有 $j eq i$ 均成立。且由于 $2^{1} = 2 < 2^{2} = 4$，QV 下反超成本更高，使得独裁更难被推翻。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【治理警示】：QV 设计的初衷是提高垄断成本以防止“寡头独裁”，但在客观信息汇总博弈中，它同样将“推翻既有独裁者”的成本提高到了平方级。一旦某一节点率先出资，QV 相当于为该节点构筑了一道天然的护城河，加剧了劣质独裁的锁定效应。

【命题 6 (Proposition 6)】强制参与（无弃权）下孔多塞陪审团定理的指数收敛性

核心结论陈述：假设存在一个规模为 $n$ 的选民集合 $C$，所有参与者的精度具有一致下界 $p_{i} \geq 1/2 + \varepsilon$（$\varepsilon > 0$），且出票数受限于 $0 < v_{i} \leq v_{max}$。若强制所有人参与（禁止弃权 $v_{i} \geq 1$），则集体成功概率随 $n$ 指数级逼近 1：

$$p(\overrightarrow{v}) \geq 1 - e^{- \frac{\varepsilon^{2}}{8v_{max}^{2}}n}$$

【数理逻辑与推导证明】

构造标准化独立随机变量 $X_{i} \triangleq \frac{1}{2} + \frac{s_{i}v_{i}}{2v_{max}} \in \lbrack 0,1\rbrack$，总和记为 $X = \sum_{i = 1}^{n}X_{i}$。正确选项胜出等价于 $\sum s_{i}v_{i} > 0 \Longleftrightarrow X > \frac{n}{2}$。

计算期望值：${\mathbb{E}}\lbrack X\rbrack = \frac{n}{2} + \sum_{i = 1}^{n}(2p_{i} - 1)\frac{v_{i}}{2v_{max}} \geq \frac{n}{2} + \frac{\varepsilon}{v_{max}}\sum v_{i} \geq \frac{n}{2} + \frac{n\varepsilon}{2v_{max}}$（取宽松下界 $\frac{n}{2} + \frac{n\varepsilon}{4v_{max}}$）。

应用 Chernoff-Hoeffding 集中不等式：对任意偏差 $t = \frac{n\varepsilon}{4v_{max}}$，失败概率满足：

$Pr\left\lbrack X \leq \frac{n}{2} \right\rbrack \leq Pr\left\lbrack X \leq {\mathbb{E}}\lbrack X\rbrack - t \right\rbrack \leq e^{- 2t^{2}/n} = e^{- \frac{\varepsilon^{2}}{8v_{max}^{2}}n}$。

因此成功概率 $p(\overrightarrow{v}) \geq 1 - e^{- \frac{\varepsilon^{2}}{8v_{max}^{2}}n}\backslash xrightarrown \rightarrow \infty 1$。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【推论 7（1p1v 渐近最优性）】：当令 $v_{max} = 1$ 时直接退化为标准 1p1v 机制，成功概率下界为 $1 - e^{- \frac{\varepsilon^{2}}{8}n}$，以指数速度收敛于 1。

【命题 7 (Proposition 7)】策略性成本投票下活跃参与选民数量的有限常数上界定理

核心结论陈述：假设所有选民精度满足 $p_{i} \geq 1/2 + \varepsilon$（$\varepsilon > 0$），出票上限为 $v_{max}$，选民利益上限为 $u_{max}$。在任意成本机制 $m \geq 1$ 下，允许策略性弃权的纯策略纳什均衡中，实际投出非零票数（$v_{i} > 0$）的活跃选民总数 $k$ 必定受限于一个与系统总人数 $n$ 完全无关的常数上界：

$$k \leq \frac{ln(2u_{max})}{2\varepsilon^{2}} + 2$$

【数理逻辑与推导证明】

【关键步骤一：定义并推导关键投票概率（Pivotal Probability）的指数衰减界】

令 $v_{tot} = \sum v_{j}$。选民 $j$ 成为关键先生（Pivotal，即自己的投票能够改变胜负）的概率定义为 $q_{piv}^{(j)}$。这要求其余人的加权对决处于极其接近平局的狭窄区间：

$q_{piv}^{(j)} = Pr\left\lbrack \frac{v_{tot}}{2} - v_{j} < X_{- j} \leq \frac{v_{tot} - v_{j}}{2} \right\rbrack \leq Pr\left\lbrack X_{- j} \leq \frac{v_{tot} - v_{j}}{2} \right\rbrack$，其中 $X_{- j} = \sum_{i eq j}v_{i} \cdot Ber(p_{i})$。

由期望值 ${\mathbb{E}}\lbrack X_{- j}\rbrack \geq (v_{tot} - v_{j})(1/2 + \varepsilon)$，利用 Chernoff 不等式放缩可得：

$q_{piv}^{(j)} \leq 2e^{- 2\varepsilon^{2}\frac{(v_{tot} - v_{j})^{2}}{v_{tot}v_{max}}} \leq 2e^{- 2\varepsilon^{2}\left( \frac{v_{tot}}{v_{max}} - 2 \right)}$。

【关键步骤二：结合参与激励相容约束】

选民 $j$ 参与投票（$v_{j} \geq 1$）的前提是边际期望收益不低于成本：$u_{j}p_{j}q_{piv}^{(j)} \geq v_{j}^{m} \geq 1$。

代入指数界：$1 \leq u_{max} \cdot 1 \cdot 2e^{- 2\varepsilon^{2}\left( \frac{v_{tot}}{v_{max}} - 2 \right)} \Longrightarrow 2\varepsilon^{2}\left( \frac{v_{tot}}{v_{max}} - 2 \right) \leq ln(2u_{max})$。

由于每个活跃选民至少投 1 票，且 $v_{i} \leq v_{max}$，总出票数满足 $v_{tot} \geq k$。故整理得：

$k \leq \frac{ln(2u_{max})}{2\varepsilon^{2}} + 2$。证毕。

【经济学机理与治理启示】

【全书最震撼结论】：在存在出资成本与自愿弃权的现实中，选民会面临严重的“搭便车”（Free-Riding）激励。随着参与人数略微增加，单人成为关键先生的概率呈指数级暴跌至 0，导致绝大多数选民理性选择弃权。因此，寄希望于通过引入大样本分散化博弈来自动汇聚群体智慧是不切实际的，机制必须引入外部投票激励！

【引理 6–10 与推论 8 (Lemmas 6–10 & Corollary 8)】现状偏向决胜规则下的纳什均衡与 QV 劣质区域的稳健存在

核心结论陈述：在现状平局规则下：(1) 仅存在 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 三类均衡，平局出票 $v_{1} = v_{2} = v > 0$ 绝非均衡。(2) 只要参数满足 $\frac{1}{2} + \frac{1}{u_{2}} \leq p_{2} \leq p_{1} - \frac{2}{u_{1}}$ 且 $p_{1} - p_{2} \leq \frac{4}{u_{1}}$，QV 严格劣于 LV 依然稳健成立。

【数理逻辑与推导证明】

在 $(0,0)$ 下双方收益为 $u_{i}/2$。偏离至 $(1,0)$ 收益为 $u_{1}p_{1} - 1$，不偏离需 $p_{1} \leq 1/2 + 1/u_{1}$。