Buyer's Hidden Search With Continuous Intensity: The Seller-Optimal Mechanism and a Perverse Effect

第一章 全文总结与核心理论创新贡献

1.1 研究背景与问题提出

在现实经济活动中，消费者在做出最终购买决策前，通常会开展额外的搜寻以寻找外部替代选项。例如，预订婚宴场地的消费者可以在当前走访的酒店直接下单，也可以投入时间、精力和差旅资金去考察其他酒店、草坪婚礼或目的地婚礼；线上电商平台的买家在浏览特定商家的商品后，可以耗费时间在全网比价并搜寻更具性价比的替代品。消费者所耗费的这些昂贵资源（时间、精力、金钱）构成了其搜寻强度（Search Intensity）。在现实中，搜寻强度 $s$ 通常是一个连续可调的决策变量（例如一天内投入 $0$ 至 $24$ 小时不等，或自由设定搜寻预算），而搜寻强度的选择构成了买方对卖方销售机制的内生最优反应。

然而，在经典文献（如 Armstrong and Zhou, 2016, Restud）中，理论模型大多将买方的搜寻决策简化为二元离散选择（Binary Choice，即 $s \in \{ 0,\overline{s}\}$，要么“不搜寻”，要么“以固定成本 $\overline{c}$ 投入固定强度 $\overline{s}$ 进行搜寻”）。二元模型虽然刻画了搜寻的存在性，却忽略了搜寻努力边际调整的重要经济洞见，并得出了“降低买方搜寻成本必然恶化卖方收益”的单调性结论。为了更真实地刻画现实市场，本文作者 Dongri Liu 和 Jingfeng Lu 在顶级微观经济学期刊《The RAND Journal of Economics》（2026年第57卷第3期）发表了题为《Buyer's Hidden Search With Continuous Intensity: The Seller‐Optimal Mechanism and a Perverse Effect》的重磅论文，建立了具有连续搜寻强度 $s \in \lbrack 0,\overline{s}\rbrack$ 的两阶段动态机制设计模型，深入探究了连续搜寻对最优机制结构、均衡搜寻努力与卖方收益的深远影响。

1.2 论文的核心理论贡献与边际创新

本文在契约理论、动态机制设计与消费者搜寻理论的交叉前沿做出了以下五大里程碑式的理论贡献：

1.3 核心悖论现象与微观经济学直觉概述

为什么降低搜寻成本反而可能提升卖方收益？这一反常效应的背后蕴含着两种对立力量的博弈：

（1）搜寻便利效应（Search Facilitation Effect）：降低搜寻成本使搜寻对买方更具吸引力，诱使更多类型的买方（特别是临界估值 $\hat{u}$ 附近的买方）放弃即时购买转而发起搜寻，这会降低卖方的即时成交概率，损害卖方利润。

（2）搜寻威慑效应（Search Deterrence Effect）：当搜寻成本函数的整体水平下降但其曲率发生改变（例如在特定搜寻强度区间内边际搜寻成本 $c\prime(s)$ 更高）时，正在进行搜寻的高估值买方的最优搜寻努力会被抑制，从而降低了其找到优质外部选项的概率，增加了其事后行使购买期权返回当前卖方的概率，进而提升卖方的延后购买收益。

当成本函数的下降以特定形态发生时，卖方为吸引买方接受机制所需让渡的信息租金（即买方拒绝机制直接搜寻的机会成本 $\Delta B(u) \equiv B(0,s^{*}(0)) - B(\lambda(u),s^{*}(u))$）被大幅压缩，搜寻威慑效应完全压倒搜寻便利效应，从而驱动卖方总收益出现反直觉的逆势上涨。

第二章 数理模型建立与博弈时序详细解析

2.1 参与人、私人信息与标的物设定

考虑一个风险中性的卖方（Seller，女性代词 she，委托人 Principal）向一个风险中性的买方（Buyer，男性代词 he，代理人 Agent）出售一件不可分割的商品或服务。卖方对该标的物的保留价值标准化为 $0$，卖方的目标是最大化自身的期望总收益。

买方对卖方标的物的真实估值记为 $u$，属于一维连续支撑集 $\lbrack 0,\overline{u}\rbrack$（以下称为买方的第一阶段类型或初始估值）。估值 $u$ 服从先验累积分布函数 $F(u)$，对应的概率密度函数为 $f(u) > 0$。假定 $F(u)$ 是二次连续可微的，并且满足微观经济学和机制设计中标准的单调危险率假设（Monotone Hazard Rate Condition, MHR），即危险率的反函数满足：

$$\frac{d}{du}\left( \frac{1 - F(u)}{f(u)} \right) \leq 0$$

单调危险率保证了卖方的虚拟价值函数（Virtual Valuation）$\lambda(u) \equiv u - \frac{1 - F(u)}{f(u)}$ 在买方估值空间上严格单调递增，排除了复杂的熨平（Ironing）技术需求。

2.2 外部选项、连续搜寻强度与成本结构

除了从当前卖方处购买标的物外，买方还可以在市场上搜寻外部替代品。将买方从外部替代品中获得的净收益记为 $v \in \lbrack 0,\overline{v}\rbrack$（以下称为外部收益或第二阶段类型）。如果买方同时消费外部替代品和卖方标的物，在忽略任何向卖方支付的转移支付前提下，买方获得的毛效用为 $\max\{ u,v\}$。这意味着外部替代品与卖方标的物具有功能可替代性，买方仅在外部收益 $v$ 严格大于标的物估值 $u$ 时，才能从外部选项中获得额外的增量剩余 $v - u > 0$。

与以往文献不同，本文设定买方的搜寻强度 $s$ 是一个在闭区间 $\lbrack 0,\overline{s}\rbrack$ 上连续可取的内生变量，其中 $s = 0$ 表示完全不进行搜寻，$s = \overline{s}$ 代表系统允许的最大搜寻强度。在给定搜寻强度 $s$ 下，外部收益 $v$ 的条件累积分布函数记为 $G(v|s)$，其搜寻成本函数记为 $c(s)$。模型对 $G(v|s)$ 和 $c(s)$ 做出如下标准的正则性假设：

2.3 两阶段动态销售机制与博弈时序

根据 Myerson (1986) 的多阶段博弈显示原理（Revelation Principle），卖方的最优机制可以在直接显示机制（Direct Mechanism）类中求解。卖方在博弈开始时承诺一个两阶段契约：

$$M \equiv \{ x(u\prime),t(u\prime),s(u\prime),X(u\prime,v\prime),T(u\prime,v\prime)\}$$

其中各项契约变量的经济学含义定义如下：

• $u\prime \in \lbrack 0,\overline{u}\rbrack$：买方在第一阶段向机制汇报的估值类型；

• $x(u\prime) \in \lbrack 0,1\rbrack$：第一阶段根据汇报 $u\prime$ 确定的即时成交分配概率；

• $t(u\prime) \in {\mathbb{R}}$：第一阶段根据汇报 $u\prime$ 收取的转移支付；

• $s(u\prime) \in \lbrack 0,\overline{s}\rbrack$：当第一阶段未发生成交时，机制向买方推荐的搜寻强度；

• $v\prime \in \lbrack 0,\overline{v}\rbrack$：买方在第二阶段向机制汇报的外部收益实现值；

• $X(u\prime,v\prime) \in \lbrack 0,1\rbrack$：第二阶段在历史汇报 $(u\prime,v\prime)$ 下的延后成交分配概率；

• $T(u\prime,v\prime) \in {\mathbb{R}}$：第二阶段在历史汇报 $(u\prime,v\prime)$ 下收取的延后转移支付。

博弈的时序进程（Timing of the Game）精确展开如下：

【阶段 0（Stage 0：机制公布与参与决策）】买方私下观察到自身的真实估值 $u$。卖方公布并承诺执行两阶段销售机制 $M$。若买方拒绝该机制，博弈脱离机制，买方在第一阶段可自主决定是否发起搜寻；若买方接受该机制，博弈进入第一阶段。

【阶段 1（Stage 1：初始汇报、即时结算与搜寻决策）】买方向机制汇报估值 $u\prime$。机制收取费用 $t(u\prime)$ 并以概率 $x(u\prime)$ 将标的物分配给买方。若标的物在阶段 1 成功售出，博弈终止，买方在获得标的物后自主决定是否搜寻；若标的物在阶段 1 未售出（概率为 $1 - x(u\prime)$），机制推荐买方以强度 $s(u\prime)$ 展开搜寻。买方私下自主选择实际搜寻强度 $s$（买方可以选择服从推荐 $s = s(u\prime)$，也可以违规偏离），并承担搜寻成本 $c(s)$。阶段 1 结束后，不再有新的搜寻机会。

【阶段 2（Stage 2：外部收益实现、二次汇报与延后结算）】买方的外部收益 $v$ 按照分布 $G(v|s)$ 私下实现。买方向机制汇报外部收益 $v\prime$。机制收取第二阶段费用 $T(u\prime,v\prime)$ 并以概率 $X(u\prime,v\prime)$ 交付标的物。博弈全部结束，各方结算最终收益。

2.4 与 Armstrong and Zhou (2016) 模型的系统对比

为了清晰凸显本文模型的一般性与突破性，下表系统对比了本文模型与经典文献 Armstrong and Zhou (2016) 的核心结构差异：

表 1：本文模型与 Armstrong and Zhou (2016) 核心设定对比

可以看出，Armstrong and Zhou (2016) 模型是本文在搜寻成本函数为平坦常数 $c(s) \equiv \overline{c}$ 时的退化特例。连续搜寻强度的引入使得买方在面对不同机制设计时具有更细腻的边际调整空间，极大地丰富了机制设计的约束形态。

第三章 逆向归纳法与卖方最优机制数理推导

3.1 第二阶段事后决策与激励约束分析

采用逆向归纳法（Backward Induction），首先分析阶段 2 中类型为 $(u,v)$ 的买方行为。假定买方在阶段 1 如实汇报了 $u$，在阶段 2 真实外部收益为 $v$ 但汇报为 $v\prime$。给定机制 $M$，买方的第二阶段偏离收益为：

$$\overset{\sim}{\pi}(v,v\prime;u) = X(u,v\prime)\max\{ u - v,0\} - T(u,v\prime) + v$$

第二阶段激励兼容约束（AS-2）要求买方如实汇报外部收益 $v$：

$$\overset{\sim}{\pi}(v,v;u) \geq \overset{\sim}{\pi}(v,v\prime;u),\forall v\prime \in \lbrack 0,\overline{v}\rbrack(AS - 2)$$

第二阶段个体理性约束（IR-2）要求买方自愿参与第二阶段交易：

$$\overset{\sim}{\pi}(v,v;u) \geq v,\forall v \in \lbrack 0,\overline{v}\rbrack(IR - 2)$$

【Lemma 1 的数理证明推导】

由 AS-2 约束，对于任意两点 $v$ 和 $v\prime$，买方在真实类型为 $v$ 时的真实汇报收益不低于汇报 $v\prime$ 的收益：

$$\overset{\sim}{\pi}(v,v;u) - \overset{\sim}{\pi}(v\prime,v\prime;u) \geq X(u,v\prime)\lbrack\max\{ u - v,0\} - \max\{ u - v\prime,0\}\rbrack + v - v\prime$$

交换 $v$ 与 $v\prime$ 的角色，同理可得：

$$\overset{\sim}{\pi}(v\prime,v\prime;u) - \overset{\sim}{\pi}(v,v;u) \geq X(u,v)\lbrack\max\{ u - v\prime,0\} - \max\{ u - v,0\}\rbrack + v\prime - v$$

将上述两个不等式左右两边相加，中间收益项相互抵消，整理得到：

$$\lbrack X(u,v\prime) - X(u,v)\rbrack \cdot \lbrack\max\{ u - v,0\} - \max\{ u - v\prime,0\}\rbrack \leq 0$$

设 $v < v\prime$。分情形讨论：

（1）若 $v,v\prime \in \lbrack 0,u\rbrack$，或 $v \in \lbrack 0,u)$ 且 $v\prime \in \lbrack u,\overline{v}\rbrack$，则 $\max\{ u - v,0\} - \max\{ u - v\prime,0\} > 0$。为使乘积非正，必须有 $X(u,v\prime) - X(u,v) \leq 0$，即 $X(u,v) \geq X(u,v\prime)$，证明了区间 $\lbrack 0,u\rbrack$ 上的弱递减性以及跨越分界点 $u$ 的单调性。

（2）若 $v,v\prime \in \lbrack u,\overline{v}\rbrack$，则 $\max\{ u - v,0\} = \max\{ u - v\prime,0\} = 0$，上述不等式恒为 $0 \leq 0$。这意味着当外部收益已经超过买方对标的物的估值时，买方根本无意消费卖方标的物，此时次级分配规则 $X(u, \cdot )$ 在该区间上不受单调性限制。证毕。

接下来，必须确定当买方在第一阶段撒谎汇报了 $u\prime$ 之后，在第二阶段面对外部实现值 $v$ 时的最优跟进谎言 $\sigma(v;u,u\prime)$。这是分析跨阶段联合偏离（Joint Deviations）的关键工具。

【Lemma 2 的数理证明与经济学解释】

买方在第二阶段选择 $v\prime$ 最大化其偏离收益：

$$\max_{v\prime \in \lbrack 0,\overline{v}\rbrack}\overset{\sim}{\pi}(v,v\prime;u,u\prime) \equiv X(u\prime,v\prime)\max\{ u - v,0\} - T(u\prime,v\prime) + v$$

由阶段 2 的 AS-2 约束，对于契约 $u\prime$ 而言，对于任意 $v\prime,v\prime\prime$ 均有：

$$\lbrack X(u\prime,v\prime) - X(u\prime,v\prime\prime)\rbrack\max\{ u\prime - v\prime,0\} \geq T(u\prime,v\prime) - T(u\prime,v\prime\prime)$$

若买方选取的汇报 $v\prime$ 能够满足“拟合恒等式”：

$$\max\{ u\prime - v\prime,0\} = \max\{ u - v,0\}$$

则代入上述不等式直接可得：$\lbrack X(u\prime,v\prime) - X(u\prime,v\prime\prime)\rbrack\max\{ u - v,0\} \geq T(u\prime,v\prime) - T(u\prime,v\prime\prime)$，即 $\overset{\sim}{\pi}(v,v\prime;u,u\prime) \geq \overset{\sim}{\pi}(v,v\prime\prime;u,u\prime)$，此时汇报 $v\prime$ 构成对所有其他可能汇报的弱占优策略。

• 情形 1（完全修复谎言）：当 $0 \leq u - v \leq u\prime$ 时，令 $u\prime - v\prime = u - v$，解得 $v\prime = u\prime - u + v \in \lbrack 0,\overline{v}\rbrack$。此时买方通过在第二阶段精巧地微调汇报，完美还原了自身的事后净剩余 $\max\{ u - v,0\}$，实现了对第一阶段谎言的完全事后修正。

• 情形 2（外部选项绝对占优）：当 $u - v < 0$ 时，买方必然消费外部选项，事后净剩余为 $0$。买方汇报最高外部类型 $v\prime = \overline{v}$ 是弱占优的。

• 情形 3（标的物价值极大）：当 $u - v > u\prime$ 时，不存在区间内的 $v\prime$ 能满足拟合恒等式。由 Lemma 1 的半单调性，$X(u\prime,0) \geq X(u\prime,v\prime\prime)$，买方通过汇报最低外部类型 $v\prime = 0$ 来最大化获得标的物的概率。证毕。

3.2 第一阶段搜寻收益函数与搜寻决策分析

回到第一阶段，引入核心分析工具——搜寻净收益函数（Search-benefit Function）$B(z,s)$：

$$B(z,s) \equiv \int_{0}^{\overline{v}}{}\max\{ v - z,0\} dG(v|s) - c(s) = \int_{z}^{\overline{v}}{}\lbrack 1 - G(v|s)\rbrack dv - c(s),\forall z \geq 0,s \in \lbrack 0,\overline{s}\rbrack$$

$B(z,s)$ 衡量了当买方在搜寻前已经锁定了基础剩余 $z$ 时，以强度 $s$ 展开搜寻所能获得的期望净增量收益。显然 $B(z,0) = 0$。对 $s$ 求偏导数得到边际搜寻净收益函数 $B_{2}(z,s)$：

$$\left\{ \begin{matrix} - \int_{z}^{\overline{v}}G_{2}(v|s)dv - c\prime(s), & 若\ z \in \lbrack 0,\overline{v}\rbrack\ 且\ s \in (0,\overline{s}\rbrack \\ - c\prime(s), & 若\ z \in (\overline{v}, + \infty)\ 且\ s \in (0,\overline{s}\rbrack \end{matrix} \right.\$$

【Lemma 3 的证明】由公式直接求导：$\frac{\partial B(z,s)}{\partial z} = - (1 - G(z|s)) \leq 0$，因此 $B(z,s)$ 随已锁定剩余 $z$ 的增加而递减（买方已有保障越丰厚，外部搜寻的吸引力越小）。关于 $s$ 的二阶导数为 $\frac{\partial^{2}B}{\partial s^{2}} = - \int_{z}^{\overline{v}}{}G_{22}(v|s)dv - c\prime\prime(s) \leq 0$（由 Assumption 1 的 $G_{22} \geq 0$ 与 Assumption 2 的 $c\prime\prime \geq 0$ 保证），因此 $B(z,s)$ 关于 $s$ 严格凹。此外，$\frac{\partial B_{2}(z,s)}{\partial z} = G_{2}(z|s) \leq 0$，证明了边际收益随 $z$ 递减。

图 1：搜寻净收益函数 $B(z,s)$ 的形态与性质（$z_{1} < z_{2}$）

图解与经济学意义：图中展示了两条搜寻收益曲线 $B(z_{1},s)$ 与 $B(z_{2},s)$。两条曲线在区间 $(0,\overline{s}\rbrack$ 上均呈现严格的倒 U 型凹曲线。由于 $z_{1} < z_{2}$，较低保障水平下的收益曲线 $B(z_{1},s)$ 整体位于较高保障水平曲线 $B(z_{2},s)$ 的上方。同时，由于边际搜寻收益 $B_{2}(z,s)$ 随 $z$ 递减，高剩余曲线 $B(z_{2},s)$ 的峰值顶点（最优搜寻努力）严格位于低剩余曲线 $B(z_{1},s)$ 峰值的左侧，直观展现了'已获剩余抑制搜寻努力'的经济学机理。

定义买方在已锁定剩余 $z$ 下的最优搜寻强度为：

$$\overset{\sim}{s}(z) \equiv \arg\max_{s \in \lbrack 0,\overline{s}\rbrack}B(z,s),\forall z \in \lbrack 0, + \infty)$$

为排除平凡情形（即拒绝机制的买方也不搜寻，或估值最高且价格为0的买方仍然搜寻），引入正则性假设 Assumption 3：$\max_{s}B(0,s) > 0$ 且 $\max_{s}B(\overline{u},s) < 0$。

图 2：最优搜寻强度函数 $\overset{\sim}{s}(z)$ 随已获剩余 $z$ 的变动轨迹

图解与经济学意义：图中清晰刻画了最优搜寻强度 $\overset{\sim}{s}(z)$ 随已锁定剩余 $z$ 的变化规律：当 $z \in \lbrack 0,\hat{k}\rbrack$ 时，买方搜寻净收益非负，最优搜寻努力 $\overset{\sim}{s}(z)$ 随 $z$ 平滑单调递减；一旦已锁定剩余超过临界门槛 $\hat{k}$（即 $z > \hat{k}$），搜寻的最大可能期望净收益转为负值，买方最优决策发生结构性突变，搜寻强度断崖式跳跃降至 $0$。因此 $\hat{k}$ 构成了买方'搜寻与不搜寻'的核心临界阈值。

3.3 卖方期望收益泛函与松弛问题（Relaxed Problem）求解

定义 Myerson 标准虚拟价值函数（Virtual Valuation Function）$\lambda(u)$：

$$\lambda(u) \equiv u - \frac{1 - F(u)}{f(u)},\forall u \in \lbrack 0,\overline{u}\rbrack$$

在单调危险率假设下，$\lambda\prime(u) = 1 - \frac{d}{du}\lbrack(1 - F)/f\rbrack \geq 1$，虚拟价值严格单调递增。令 $m^{*} = \lambda^{- 1}(0)$ 表示卖方在标准无外部选项垄断定价下的保留价格门槛。

【Lemma 5 的数理证明推导】

应用 Milgrom and Segal (2002) 积分包络定理，买方在第一阶段的均衡信息租金斜率为：

$$\frac{d\pi(u,u)}{du} = \left. \ \frac{\partial\pi(u,u\prime)}{\partial u} \right|_{u\prime = u} = x(u)G(u|\overset{\sim}{s}(u)) + (1 - x(u))\int_{0}^{u}{}X(u,v)dG(v|s(u))$$

社会总剩余等于买方与卖方期望剩余之和。当买方获得标的物与未获得标的物时，社会总剩余分别为：

$$u + B(u,\overset{\sim}{s}(u)) = B(0,\overset{\sim}{s}(u)) + \int_{0}^{u}{}(u - v)dG(v|\overset{\sim}{s}(u))$$

$$\int_{0}^{\overline{v}}{}\lbrack v + X(u,v)\max\{ u - v,0\}\rbrack dG(v|s(u)) - c(s(u)) = B(0,s(u)) + \int_{0}^{u}{}X(u,v)(u - v)dG(v|s(u))$$

卖方期望收益等于期望社会总剩余减去买方的期望租金 $\int_{0}^{\overline{u}}{}\pi(u,u)dF(u)$。对买方租金项应用分部积分法（Integration by Parts）：

$$\int_{0}^{\overline{u}}{}\pi(u,u)dF(u) = \pi(0,0) + \int_{0}^{\overline{u}}{}\frac{1 - F(u)}{f(u)}\frac{d\pi(u,u)}{du}dF(u)$$

将租金斜率代入并合并同类项，利用虚拟价值定义 $\lambda(u) = u - \frac{1 - F(u)}{f(u)}$，即可精确导出 Lemma 5 的收益泛函。证毕。

为了求解复杂的原优化问题 (O)，构建松弛问题（Problem O-R）：忽略一阶段复杂的全局单调性约束与偏离路径下的道德风险约束，仅保留最底层个体理性约束 $\pi(0,0) \geq B(0,\overset{\sim}{s}(0))$，对被积表达式进行点对点（Pointwise）最大化。

3.4 最优机制设计与购买期权菜单间接实现

首先回顾 Armstrong and Zhou (2016) 在二元搜寻设定下的基准结果。

现在给出本文针对连续搜寻强度的核心理论成果——卖方最优机制结构定理（Proposition 2）：

【Proposition 2 的全面数理验证与证明】

证明的核心分为两大部分：第一，验证该购买期权菜单完全满足原问题 (O) 的全部 5 个约束（IR-2, AS-2, MH, AS-1, IR-1）；第二，证明该机制实现的卖方收益严格达到 Lemma 6 中的理论上限 $R^{*}$。

【Step 1：验证第二阶段约束 IR-2 与 AS-2】买方在搜寻后选择返回行权并支付执行价格 $p(u)$ 的充要条件是 $u - p(u) \geq v$，即 $v \leq \lambda(u)$。此时买方获得净剩余 $u - p(u) \geq v$，自愿行权，IR-2 自动满足。第二阶段转移支付为固定执行价格 $p(u)$，与二阶段汇报 $v$ 独立，AS-2 显然满足。

【Step 2：验证道德风险约束 MH（内生契合机制）】这是本论文最精妙的理论发现！在购买期权菜单下，类型为 $u$ 的买方在第一阶段真实签约后，其在搜寻前已经锁定的确定性剩余为 $u - p(u) = \lambda(u)$。买方在第一阶段自主选择搜寻强度的目标函数为：

$$\max_{s \in \lbrack 0,\overline{s}\rbrack}{\mathbb{E}}_{v}\lbrack\max\{ u - p(u),v\}|s\rbrack - c(s) = \lambda(u) + \max_{s \in \lbrack 0,\overline{s}\rbrack}B(\lambda(u),s)$$

由 Lemma 4，买方自发选择的最优搜寻强度为 $\hat{s}(u,u) = \overset{\sim}{s}(\lambda(u))$。而根据 Lemma 6，卖方推荐的最优搜寻强度恰好也是 $s^{*}(u) = \overset{\sim}{s}(\lambda(u))$！两者在最优点实现 100% 完美对齐：

$$\hat{s}(u,u) \equiv s^{*}(u),\forall u \in \lbrack 0,\overline{u}\rbrack$$

这一完美的内生一致性使得道德风险约束在最优点非绑定（Non-binding），卖方无需为了诱导买方选择特定搜寻努力而额外扭曲支付规则！

【Step 3：验证第一阶段逆向选择约束 AS-1（跨阶段联合偏离分析）】假定真实类型为 $u$ 的买方偏离汇报为 $u\prime$。若 $u\prime \in \lbrack m^{*},\hat{u}\rbrack$，买方购买了期权 $\{ p(u\prime),D(u\prime)\}$，其锁定的事前剩余变为 $u - p(u\prime)$。买方的偏离收益为：

$$\pi(u,u\prime) = - D(u\prime) + u - p(u\prime) + B(u - p(u\prime),\hat{s}(u,u\prime))$$

其中 $\hat{s}(u,u\prime) = \overset{\sim}{s}(u - p(u\prime))$。对真实类型 $u$ 求全偏导数：

$$\frac{\partial\pi(u,u\prime)}{\partial u} = 1 + \left. \ \frac{\partial B(z,s)}{\partial z} \right|_{z = u - p(u\prime)} = 1 - \lbrack 1 - G(u - p(u\prime)|\hat{s}(u,u\prime))\rbrack = G(u - p(u\prime)|\hat{s}(u,u\prime))$$

而真实汇报时的租金全导数为 $\frac{d\pi(u,u)}{du} = G(\lambda(u)|s^{*}(u))$。当 $u > u\prime$ 时，由于 $p(u\prime) > p(u)$（$p$ 单调递减），有 $u - p(u) > u - p(u\prime)$，且由 Lemma 4，$s^{*}(u) \leq \hat{s}(u,u\prime)$。由 Assumption 1，$G$ 关于第一参数递增、关于第二参数递减，因此：

$$\frac{d\pi(u,u)}{du} = G(\lambda(u)|s^{*}(u)) \geq G(u - p(u\prime)|\hat{s}(u,u\prime)) = \frac{\partial\pi(u,u\prime)}{\partial u},\forall u > u\prime$$

根据包络积分公式：$\pi(u,u) - \pi(u,u\prime) = \int_{u\prime}^{u}{}\left\lbrack \frac{d\pi(z,z)}{dz} - \frac{\partial\pi(z,u\prime)}{\partial z} \right\rbrack dz \geq 0$。同理可证 $u < u\prime$ 时的情形。因此全局 AS-1 严格成立！

【Step 4：验证第一阶段 IR-1 与达到收益上界】由递增性，$\pi(u,u) \geq \pi(0,0) = B(0,\overset{\sim}{s}(0))$，IR-1 满足。将期权菜单的期望收费带入卖方总收益公式，利用分部积分展开，可精确得到 $Rev = R^{*}$。证毕。

表 2：期权溢价定价结构对比与机制机理差异

3.5 均衡搜寻强度与成交概率分布特性

图 3：买方均衡搜寻强度 $s^{*}(u)$ 随其估值 $u$ 的分布曲线

图解与经济学意义：低估值买方（$u < m^{*}$）拒绝机制并以最高努力 $\overset{\sim}{s}(0)$ 搜寻；延后购买型买方（$m^{*} \leq u \leq \hat{u}$）的搜寻努力随自身估值 $u$ 严格递减；高估值买方（$u > \hat{u}$）选择即时购买，搜寻强度降为 $0$。这一递减性源于两个微观力量：一是买方估值越高，外部搜寻对社会总剩余的增量贡献越低；二是高估值买方获得标的物的概率更高，从而内生削弱了其搜寻动力。

图 4：卖方成交概率 $G(\lambda(u)|s^{*}(u))$ 随买方估值 $u$ 的分布曲线

图解与经济学意义：成交概率在低估值区为 $0$；在延后购买区随估值提高而平滑上升（买方估值越高，搜寻努力越低且行权门槛 $\lambda(u)$ 越高，因而返回购买概率越大）；在搜寻临界点 $\hat{u}$ 处，由于买方彻底停止搜寻，成交概率发生结构性向上跳跃直达 $1.0$。

第四章 搜寻成本对卖方收益的影响与反常效应数理推导

4.1 买方期望支付函数与卖方收益结构分解

表 3：均衡状态下各类型买方向卖方的期望支付汇总

图 5：买方期望支付函数 $\beta(u)$ 随估值 $u$ 的变化轨迹

图解与经济学意义：期望支付在低估值区为 $0$；在延后购买区随估值上升而单调增加（期权费增加且行权概率上升）；在门槛 $\hat{u}$ 处向上跳跃至即时全款价格 $D(\hat{u}) + p(\hat{u})$ 并在此后保持水平常数。

由此，卖方的总期望收益 $R^{*}$ 可以精妙地分解为两大部分：即时购买收益（Buy-now revenue）与延后购买收益（Buy-later revenue）：

$$R^{*} = underbrace{\int_{\hat{u}}^{\overline{u}}\beta(u)dF(u)}_{即时购买收益\ (Buy - now)} + underbrace{\int_{m^{*}}^{\hat{u}}\beta(u)dF(u)}_{延后购买收益\ (Buy - later)}$$

图 6：搜寻成本函数上升对买方类型区间的挤压重构（$c_{a} \geq c_{b}$ 导致 ${\hat{u}}_{a} \leq {\hat{u}}_{b}$）

图解与经济学意义：上层展示高成本 $c_{a}( \cdot )$，下层展示低成本 $c_{b}( \cdot )$。当搜寻成本整体上升时，搜寻门槛从 ${\hat{u}}_{b}$ 左移至 ${\hat{u}}_{a}$，导致延后购买区 $\lbrack m^{*},{\hat{u}}_{a}\rbrack$ 被压缩，而即时购买区 $({\hat{u}}_{a},\overline{u}\rbrack$ 被拓宽。更高比例的买方被逼迫放弃搜寻并支付高额即时购买全款。

4.2 搜寻便利效应 vs 搜寻威慑效应

图 7：数值算例下两组成本函数对应的均衡搜寻努力对比曲线

图解与经济学意义：基于数值参数 $c_{a}(s) = 0.03 + 0.08s^{2}$, $c_{b}(s) = 0.01 + 0.1s^{2}$, $F(u) = u$, $G(v|s) = v^{s}$。红色方块虚线代表 $s_{a}^{*}(u)$，蓝色圆点实线代表 $s_{b}^{*}(u)$。在区间 $\lbrack 0,{\hat{u}}_{a}\rbrack$ 内，由于 $c_{b}$ 的边际成本更高，$s_{b}^{*}(u) \leq s_{a}^{*}(u)$（产生了威慑效应）；而在区间 $({\hat{u}}_{a},{\hat{u}}_{b}\rbrack$ 内，$c_{b}$ 诱发了搜寻而 $c_{a}$ 阻止了搜寻（产生了便利效应）。