Effort Decisions in Contests with Shared Attributes

📋 论文出版信息与排版规范说明

【论文原载】Mathematics of Operations Research, Volume 51, Number 3, August 2026, pp. 1794–1823 (INFORMS)

【作者团队】何嘉豪 (Jiahao He), 张季恒 (Jiheng Zhang), 张Rachel (Rachel Q. Zhang) · 香港科技大学工业工程与决策分析系 (HKUST IEDA)

【学科分类】MSC2020: 91A12 (Cooperative/Noncooperative Games), 91B32 (Resource Allocation); JEL: C72, D72, D74

【基金资助】香港研究资助局 (Hong Kong RGC) Grants 16200821, 16500023, T32-615/24-R

【排版规范】正文行距 1.5 倍行距，正文字体小四号 (12 pt)，全部数学符号与表达式均采用 Word 原生公式 (OMML) 渲染。

🌟 论文核心学术突破与理论创新体系

1. 首次确立共享属性微观机理：打破了多竞赛无底层属性关联的传统假设，建立了由属性权重向量 $w_{j}$、二次成本矩阵 $D$ 及竞赛相关性 $w_{1}^{T}D^{- 1}w_{2}$ 构成的微观决策模型，揭示了技能在多场竞赛中的正向协同与负向替代效应。

2. 独创高维决策空间“降维定理”：属性维度 $M$ 通常远超竞赛数量 $J$（$M \gg J$）。本文通过代数标准化与下层最优成本投影，证明了 $M$ 维高维努力决策可严格等价规约为 $J$ 维期望得分空间中的二次优化问题 $\gamma(z)$，使得高维混合策略的求解成为可能。

3. 完整刻画确定性博弈纳什均衡：在零随机性下，严格证明了正相关竞赛退化为单竞赛线性支持集均衡；负相关竞赛展现出极其优美的非线性椭圆弧段支持集；完全相反竞赛在对称两人博弈下产生独特的“全员零努力和平纯策略均衡”；并在多人极限下以 $O(\sqrt{N}(3/4)^{N/2})$ 的速度收敛到边界射线。

4. 揭示噪声对混合策略的平滑过渡机制：在随机干扰下，证明了高噪声直接导致确定性纯策略均衡；低噪声（如均匀分布）下产生离散有限点支持集混合策略，并随噪声 $\beta \rightarrow 0$ 平滑逼近确定性连续混合策略，完美桥接了博弈论中纯策略与混合策略的鸿沟。

5. 发现不完全信息对博弈决策的“纯化效应”：在异质参赛者拓展中，完全信息会导致冷酷的“挤出效应”（仅 Class 1 和 Class 2 付出努力，其余退出）；而在不完全信息（私有能力分布 $Q$）下，参赛者的私有天赋天然转化为对手眼中的随机性，促使全员采用确定性纯策略积极参与，实现了博弈论中的经典纯化。

6. 提出多竞赛高效启发式聚类合并算法：针对 $J > 2$ 的复杂网络，提出了基于相关性贪心合并的启发式算法。数值实验证实其偏离收益率 $\eta$ 极低，具备卓越的工程实用性。

7. 导出竞赛设计者的最优对称奖酬公式：给出了最大化总产出减奖酬成本的最优对称奖金闭式解 $u_{1}^{*} = u_{2}^{*} = \frac{N^{2}(2 - w_{1}^{T}w_{2})^{2}(1 + w_{1}^{T}w_{2})}{4(3N - 1)^{2}}$，揭示了正相关性增强时应主动压缩奖酬以防止租金消散的管理新逻辑。

$${Score}_{nj} = w_{j}^{T}x_{n} + \xi_{nj}$$

式 (1)：参赛者实际得分公式

$$Contest\ Correlation = w_{1}^{T}D^{- 1}w_{2}$$

式 (2)：竞赛相关性数学定义

$$\max_{F}\mathbb{E}\left\lbrack \sum_{j = 1}^{2}{u_{j}\frac{\mathbb{I}_{\{ w_{j}^{T}x_{n} + \xi_{nj} \geq w_{j}^{T}x_{n'}^{*} + \xi_{n'j},\forall n' \neq n\}}}{1 + \sum_{n' \neq n}^{}\mathbb{I}_{\{ w_{j}^{T}x_{n} + \xi_{nj} = w_{j}^{T}x_{n'}^{*} + \xi_{n'j}\}}}} - x_{n}^{T}Dx_{n} \right\rbrack$$

式 (3)：高维原始博弈优化问题 (Problem 1)

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{z_{1}^{2} + z_{2}^{2} - 2w_{1}^{T}w_{2}z_{1}z_{2}}{1 - (w_{1}^{T}w_{2})^{2}}, & 若\ - 1 < w_{1}^{T}w_{2} < 1 \\ z_{1}^{2}, & 若\ w_{1}^{T}w_{2} = \pm 1 \end{matrix} \right.\$$

式 (4)：降维后二维最小成本函数

$$\max_{G}\mathbb{E}\left\lbrack \sum_{j = 1}^{2}{u_{j}\frac{\mathbb{I}_{\{ z_{nj} + \xi_{nj} \geq z_{n'j}^{*} + \xi_{n'j},\forall n' \neq n\}}}{1 + \sum_{n' \neq n}^{}\mathbb{I}_{\{ z_{nj} + \xi_{nj} = z_{n'j}^{*} + \xi_{n'j}\}}}} - \gamma(z_{n}) \right\rbrack$$

式 (5)：降维后二维得分博弈问题 (Problem 3)

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{z_{n1}^{*} - w_{1}^{T}w_{2}z_{n2}^{*}}{1 - (w_{1}^{T}w_{2})^{2}}w_{1} + \frac{z_{n2}^{*} - w_{1}^{T}w_{2}z_{n1}^{*}}{1 - (w_{1}^{T}w_{2})^{2}}w_{2}, & 若\ - 1 < w_{1}^{T}w_{2} < 1 \\ z_{n1}^{*}w_{1}, & 若\ w_{1}^{T}w_{2} = \pm 1 \end{matrix} \right.\$$

式 (6)：最优属性努力向量逆向重构公式

📌 Lemma A.1：确定性博弈对称纳什均衡的充要变分方程

【引理内容】设 $w_{1}^{T}w_{2} \neq - 1$，$D = I$，$\xi_{nj} = 0$。对称二维分布 $G^{*}$ 是纳什均衡的充要条件为：

$$\max_{z \in Im(W^{T})}\left\{ \sum_{j = 1}^{2}{u_{j}\lbrack G_{j}^{*}(z_{j})\rbrack^{N - 1}} - \gamma(z) \right\} + \mathbb{E}_{G^{*}}\lbrack\gamma(z^{*})\rbrack = \frac{u_{1} + u_{2}}{N}$$

且 $G^{*}$ 的支持集是该最大化目标函数 $\Psi(z)$ 的 argmax 集合的子集。此外，在支持集上：当 $w_{1}^{T}w_{2} > 0$ 时 $z_{2}^{*}$ 随 $z_{1}^{*}$ 单调递增；当 $w_{1}^{T}w_{2} < 0$ 时 $z_{2}^{*}$ 随 $z_{1}^{*}$ 单调递减。

【证明要点】由于参赛者完全同质，在对称均衡下均分总奖励 $\frac{u_{1} + u_{2}}{N}$。任何单点偏离收益上限必须恰好等于平均净收益。通过将最优得分转运问题转化为关于二次成本的 Monge-Kantorovich 运输问题，由 Mitroi and Niculescu (2011) 结论即证单调性。

📐 Proposition 1：正相关竞赛的单一竞赛等价性与线性支持集

【命题内容】当两场竞赛正相关时，存在唯一的混合策略纳什均衡：

1. 若 $w_{1} = w_{2}$（两竞赛完全相同）：$G_{1}^{*}(z_{1}^{*}) = \left( \frac{z_{1}^{*2}}{u_{1} + u_{2}} \right)^{\frac{1}{N - 1}}$，定义域为 $\lbrack 0,\sqrt{u_{1} + u_{2}}\rbrack$，且 $z_{2}^{*} = z_{1}^{*}$，$x^{*} = z_{1}^{*}w_{1}$。

2. 若 $0 < w_{1}^{T}w_{2} < 1$：参赛者从边际分布 $G_{1}^{*}(z_{1}^{*}) = \left( \frac{(1 - w_{1}^{T}w_{2}v)z_{1}^{*2}}{u_{1}(1 - (w_{1}^{T}w_{2})^{2})} \right)^{\frac{1}{N - 1}}$ 中采样，定义域为 $\left\lbrack 0,\sqrt{\frac{u_{1}(1 - (w_{1}^{T}w_{2})^{2})}{1 - w_{1}^{T}w_{2}v}} \right\rbrack$，并严格设定 $z_{2}^{*} = vz_{1}^{*}$，其中常数比例系数 $v > 0$ 为：

$$v = \frac{\sqrt{\lbrack(u_{2} - u_{1})w_{1}^{T}w_{2}\rbrack^{2} + 4u_{1}u_{2}} - (u_{2} - u_{1})w_{1}^{T}w_{2}}{2u_{1}} > 0$$

对应最优属性努力向量为 $x^{*} = z_{1}^{*}\left\lbrack \frac{1 - w_{1}^{T}w_{2}v}{1 - (w_{1}^{T}w_{2})^{2}}w_{1} + \frac{v - w_{1}^{T}w_{2}}{1 - (w_{1}^{T}w_{2})^{2}}w_{2} \right\rbrack$。

📊 Proposition 2：零相关竞赛的独立正交均衡与竞争稀释规律

【命题内容】当 $w_{1}^{T}w_{2} = 0$ 时，任何边际分布满足 $G_{j}^{*}(z_{j}^{*}) = \left( \frac{z_{j}^{*2}}{u_{j}} \right)^{\frac{1}{N - 1}}$（$z_{j}^{*} \in \lbrack 0,\sqrt{u_{j}}\rbrack$）的二维分布 $G^{*}(z)$ 均为纳什均衡。总努力向量为 $x^{*} = z_{1}^{*}w_{1} + z_{2}^{*}w_{2}$。

【竞争强度演化】随着参赛者总数 $N$ 增加，边际概率密度函数呈现出显著形态演化：\n• 当 $N = 2$ 时，密度函数为严格递增的线性函数；\n• 当 $N = 3$ 时，密度函数退化为完全平坦的均匀分布（Uniform Distribution）；\n• 当 $N > 3$ 时，密度函数转变为严格递减的凸函数，概率质量向 0 点聚集，体现出激烈的全员竞争导致的理性努力削减（理性放弃）。

⚖️ Proposition 3：相反竞赛下的零努力纯策略与非对称右偏均衡

【命题内容】当 $w_{1} = - w_{2}$（即 $z_{2}^{*} = - z_{1}^{*}$）且 $u_{1} \geq u_{2}$ 时，存在唯一纳什均衡：

1. 若 $N = 2$ 且 $u_{1} = u_{2}$：存在唯一的纯策略纳什均衡，双方均付出零努力 $x^{*} = 0$，直接平分总奖励 $u_{1} + u_{2}$（和平博弈解）。

2. 若 $N = 2$ 且 $u_{1} > u_{2}$：采用混合策略 $G_{1}^{*}(z_{1}^{*}) = \frac{z_{1}^{*2}}{u_{1} - u_{2}}$，支持集为 $\lbrack 0,\sqrt{u_{1} - u_{2}}\rbrack$（退化为以 $u_{1} - u_{2}$ 为奖金的单竞赛）。

3. 若 $N > 2$：混合策略满足隐式代数方程 $u_{1}\lbrack G_{1}^{*}(z_{1}^{*})\rbrack^{N - 1} + u_{2}\lbrack 1 - G_{1}^{*}(z_{1}^{*})\rbrack^{N - 1} = z_{1}^{*2} + \hat{u}$，定义域为 $\lbrack - \sqrt{u_{2} - \hat{u}},\sqrt{u_{1} - \hat{u}}\rbrack$，常数项为：

$$\hat{u} = u_{1}\left( \frac{\sqrt[{N - 2}]{u_{2}}}{\sqrt[{N - 2}]{u_{1}} + \sqrt[{N - 2}]{u_{2}}} \right)^{N - 1} + u_{2}\left( \frac{\sqrt[{N - 2}]{u_{1}}}{\sqrt[{N - 2}]{u_{1}} + \sqrt[{N - 2}]{u_{2}}} \right)^{N - 1}$$

🌌 Proposition 4：负相关竞赛的非线性常微分方程组与椭圆弧段支持集

【命题内容】当两场竞赛负相关但非完全相反时，存在唯一的混合策略纳什均衡，其支持集为极坐标下的非线性曲线 $(z_{1}^{*}(t),z_{2}^{*}(t)) = r(t)(cos(\theta(t) - \theta_{0}),cos(\theta(t) + \theta_{0}))$，$t \in \lbrack 0,1\rbrack$，其中三元组 $(r(t),\theta(t),\lambda)$ 是如下常微分方程组的唯一解：

$$r^{2}(t) = u_{1}t^{N - 1} + u_{2}(1 - t)^{N - 1} - \frac{u_{1} + u_{2}}{N} + \lambda$$

$$\frac{\theta'(t)}{N - 1} = \frac{u_{1}t^{N - 2}cot(\theta + \theta_{0}) + u_{2}(1 - t)^{N - 2}cot(\theta_{0} - \theta)}{2\left\lbrack u_{1}t^{N - 1} + u_{2}(1 - t)^{N - 1} - \frac{u_{1} + u_{2}}{N} + \lambda \right\rbrack}$$

边界条件满足 $\theta(0) = - \theta(1) = - \theta_{0} = - arcsin\sqrt{\frac{1 - w_{1}^{T}w_{2}}{2}}$。

【两选手对称特例 ($u_{1} = u_{2} = u,N = 2$)】闭式边际分布为：

$$G_{1}^{*}(z_{1}^{*}) = \frac{1}{2} + \frac{sin(2\lbrack\theta_{0} - arccos(z_{1}^{*}/r^{*})\rbrack) - 2w_{1}^{T}w_{2}\lbrack\theta_{0} - arccos(z_{1}^{*}/r^{*})\rbrack}{2\lbrack sin(2\theta_{0}) - 2w_{1}^{T}w_{2}\theta_{0}\rbrack}$$

其支持集为椭圆弧段：$\{(z_{1}^{*},z_{2}^{*}):z_{1}^{*2} + z_{2}^{*2} - 2z_{1}^{*}z_{2}^{*}w_{1}^{T}w_{2} = r^{*}\lbrack 1 - (w_{1}^{T}w_{2})^{2}\rbrack,z_{1}^{*} \geq w_{1}^{T}w_{2}z_{2}^{*},z_{2}^{*} \geq w_{1}^{T}w_{2}z_{1}^{*}\}$，其中 $r^{*} = \frac{usin(2\theta_{0})}{sin(2\theta_{0}) - 2w_{1}^{T}w_{2}\theta_{0}}$。

⚡ Proposition 5：极度激烈竞争下的战略聚焦与边界射线收敛定理

【命题内容】当 $- 1 < w_{1}^{T}w_{2} < 0$ 时，随着参赛者数量 $N \rightarrow \infty$，混合策略均衡分布 $G^{*}$ 的二维支持集在概率测度上以 $O\left( \sqrt{N}\left( \frac{3}{4} \right)^{N/2} \right)$ 的指数级速度迅速收敛到两条边界折线射线：

$$Support\ Limiting\ Rays = \{(z_{1},w_{1}^{T}w_{2}z_{1}):z_{1} \geq 0\} \cup \left\{ \left( z_{1},\frac{z_{1}}{w_{1}^{T}w_{2}} \right):z_{1} \leq 0 \right\}$$

🎯 Proposition 6 & 11：高不确定性下的确定性纯策略纳什均衡

【命题内容】当噪声尺度 $\beta_{1},\ldots,\beta_{J}$ 充分大时，由于外部环境的不确定性本身已为博弈提供了充足的随机性，参赛者无需再通过混合策略自我随机化。此时博弈存在唯一的确定性纯策略纳什均衡：

$$x^{*} = \frac{N - 1}{2}\sum_{j = 1}^{J}{\frac{\eta_{j}u_{j}}{\beta_{j}}w_{j}},z^{*} = \frac{N - 1}{2}W^{T}W\left( \frac{\eta_{1}u_{1}}{\beta_{1}},\ldots,\frac{\eta_{J}u_{J}}{\beta_{J}} \right)^{T}$$

其中常数 $\eta_{j} = \int_{}^{}{H_{j}^{N - 1}(\varepsilon)h_{j}^{2}(\varepsilon)d\varepsilon}$ 仅由噪声分布的先验形态决定。

🎲 Proposition 7 & 8：噪声临界阈值与离散有限点混合策略

【命题内容】设单一竞赛中 $\varepsilon_{n} \sim U\lbrack - 1/2,1/2\rbrack$，存在临界噪声阈值 $\beta_{crit} = \sqrt{u/2}$：

1. 若 $\beta \geq \sqrt{u/2}$，存在唯一纯策略均衡 $z^{*} = \frac{u}{2\beta}$；

2. 若 $\beta < \sqrt{u/2}$，存在唯一的整数 $k \geq 1$ 使得 $\beta \in \left\lbrack \sqrt{\frac{u}{(k + 1)(k + 2)}},\sqrt{\frac{u}{k(k + 1)}} \right\rbrack$，博弈均衡为具有 $k + 1$ 个离散点的混合策略：

$$P\left( z^{*} = \frac{u}{2(k + 1)\beta} + \left( ell - \frac{k}{2} \right)\beta \right) = \frac{2\beta}{u}z^{*},ell = 0,1,\ldots,k$$

【双竞赛拓展（Proposition 8）】对于正相关对称双竞赛，临界阈值为 $\overline{\beta} = \sqrt{\frac{u(1 + w_{1}^{T}w_{2})}{2}}$，均衡策略在对角线 $z_{1}^{*} = z_{2}^{*}$ 上同样呈现出从纯策略向 $k + 1$ 离散点的离散混合策略过渡。

🚫 Proposition 9：完全信息透明下的赢家通吃与冷酷挤出效应

【命题内容】若所有参赛者的成本矩阵 $D_{n}$ 为公开信息，将参赛者按相关性从大到小排序，第 $k$ 高相关性记为 $\delta_{k}$，对应群体记为 Class $k$：

1. 若最高梯队 Class 1 仅有 $n_{1} = 1$ 人：仅 Class 1 和 Class 2 参赛者付出努力，其边际分布为：

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{z_{n}^{*2}}{u(c + \delta_{2})}\left( \frac{u(c + \delta_{1})}{z_{n}^{*2} + u(\delta_{1} - \delta_{2})} \right)^{\frac{n_{2} - 1}{n_{2}}}, & n \in Class\ 1 \\ \left( \frac{z_{n}^{*2} + u(\delta_{1} - \delta_{2})}{u(c + \delta_{1})} \right)^{\frac{1}{n_{2}}}, & n \in Class\ 2 \end{matrix} \right.\$$

其余所有 Class $k$ ($k \geq 3$) 劣势参赛者完全不付出任何努力（$x_{n}^{*} = 0$），彻底退出竞争！

2. 若最高梯队 Class 1 有 $n_{1} > 1$ 人：则连 Class 2 也会被彻底挤出，仅 Class 1 内部进行博弈，$G_{nj}^{*}(z_{n}^{*}) = \left( \frac{z_{n}^{*2}}{u(c + \delta_{1})} \right)^{\frac{1}{n_{1} - 1}}$，其余所有人完全退出。

✨ Proposition 10：不完全信息下的贝叶斯纳什纯策略与全员激活机制

【命题内容】若参赛者仅知晓自己的相关性 $\delta_{n} = w_{1}^{T}D_{n}^{- 1}w_{2}$，而仅知对手的相关性是从公共连续分布 $Q$ 中独立抽取的先验变量：

所有参赛者在确定性博弈均衡下均采用确定性的纯策略（Pure Strategy）：

$$z_{n}^{*} = \sqrt{u\int_{0}^{w_{1}^{T}D_{n}^{- 1}w_{2}}{(c + \delta){dQ}^{N - 1}(\delta)}}$$

【经济学纯化机制】该公式表明，期望得分 $z_{n}^{*}$ 是自身私有天赋 $\delta_{n}$ 的单调递增连续函数。由于对手无法窥探我的具体天赋，我基于私有信息的确定性纯策略，在对手看来自然呈现为服从分布 $Q$ 的混合随机化策略！信息不对称天然消除了挤出效应，促使全员积极参与。

🌐 Proposition 13 & 14：多竞赛非负等价合并与非正射线分散均衡

【命题 13（两两非负相关）】若所有竞赛满足 $w_{j}^{T}D^{- 1}w_{j'} \geq 0$（$\forall j,j'$），多竞赛博弈可完美规约为单一合成等价竞赛，其合成属性权重通过求解正定非线性方程组 $\Phi(y) = diag(y)W^{T}Wy = u$ 获得。

【命题 14（两两非正相关）】若所有竞赛满足 $w_{j}^{T}D^{- 1}w_{j'} \leq 0$（$\forall j \neq j'$），则对于任意 $\varepsilon \geq \left( \frac{J - 1}{J} \right)^{N}\sum_{j = 1}^{J}u_{j}$，存在一个极其优美的 $\varepsilon$-纳什均衡：

参赛者以均等概率 $1/J$ 随机挑选其中一场竞赛，并沿着该竞赛的最有效属性射线进行努力投资（支持集为 $J$ 条射线的并集）。

🏆 Proposition 15：组织者最优奖金设计与正相关溢出下的奖金压缩法则

【命题 15 内容】在 $D = I$、确定性且正相关的两场竞赛中，设竞赛 $j$ 组织者的目标函数为 $\Pi(u_{j}|u_{j'}\mathbb{) = E\lbrack}max\{ z_{1j}^{*},\ldots,z_{Nj}^{*}\}\rbrack - u_{j}$。组织者博弈的最优对称均衡奖励闭式解为：

$$u_{1}^{*} = u_{2}^{*} = \frac{N^{2}(2 - w_{1}^{T}w_{2})^{2}(1 + w_{1}^{T}w_{2})}{4(3N - 1)^{2}}$$

【核心单调性与经济机制】最优奖励 $u_{1}^{*},u_{2}^{*}$ 是竞赛正相关系数 $w_{1}^{T}w_{2}$ 的严格单调递减函数！

数理根源：当两场竞赛属性高度正相关时，努力具有强大的正向外溢效应，参赛者为了在竞赛 1 中获胜而付出的努力天然提升了竞赛 2 的得分。组织者敏锐地捕获到了这一内生动力，从而可以顺水推舟主动压缩单项奖金额度，以极低的奖金成本撬动极高的全员产出，有效防止了过度激励造成的租金消散。